Demonstrar que :

boa noite

para a demonstração vou utilizar três formulas

1) cotg(a/2) = (1 + cos(a))/sen(a)
2) cos(2a) = 2cos²(a) - 1
3) sen(2a) = 2sen(a)*cos(a)

para começar vamos demonstrar só para 1/sen(a)

1/sen(a) = cotg(a/2) - cotg(a)
1/sen(a) = (1 + cos(a))/sen(a) - cos(a)/sen(a) = 1/sen(a)

agora vamos demonstrar por recurrência

cotg(a/2) - cotg(2ⁿa) + 1/sen(2ⁿ+¹a) = cotg(a/2) - cotg(2ⁿ+¹a)

seja b = 2ⁿa e 2b = 2ⁿ+¹a

temos

cotg(b) - 1/sen(2b) = cotg(2b)

cos(b)/sen(b) - 1/sen(2b) =
2cos²(b)/2cos(b)sen(b) - 1/sen(2b) =
2cos²(b)/sen(2b) - 1/sen(2b) =
(2cos²(b) - 1)/sen(2b) = cos(2b)/sen(2b) = cotg(2b)

pronto

att