Geometria analítica

Conhecidas as coordenadas (– 4, 3) e (0, 0) de dois dos vértices de um
triângulo equilátero, encontre as coordenadas do terceiro vértice.

Boa noite

Conhecidas as coordenadas A(– 4, 3) e B(0, 0) de dois dos vértices de um
triângulo equilátero, encontre as coordenadas do terceiro vértice C(x,y)

vamos calcular o valor do lado do triangulo

dAB² = (Ax - Bx)² + (Ay - By)²
dAB² = (-4 - 0)² + (3 - 0) = 16 + 9 = 25

o lado = 5

como o triangulo é equilátero temos dCA² = dCB² = 25

dCA² = (Cx - Ax)² + Cy - Ay)²
dCA² = (x + 4)² + (y - 3)² = 25

x² + 8x + 16 + y² - 6y + 9 = 25
x² + y² + 8x - 6y = 0

dCB² = (Cx - Bx)² + (Cy - By)²
dCB² = (x - 0)² + (y - 0)² = 25
dCB² = x² + y² = 25

agora temos o seguinte sistema

x² + y² + 8x - 6y = 0
x² + y² = 25

resolução

25 + 8x - 6y = 0
6y = 8x + 25
y = (8x + 25)/6

x² + y² = 25
x² + [ (8x + 25)/6]² = 25
x² + (64x + 400x + 625)/36 = 25
36x² + 64x² + 400x + 625 = 36*25
100x² + 400x + 625 = 36*25
4x² + 16x + 25 = 36
4x² + 16x - 11 = 0

Δ² = 16² - 4*4*(-11) = 256 + 16*11 = 256 + 176 = 432 = 16*27
Δ = 12√3

x1 = (-16 + 12√3)/8
x2 = (-16 - 12√3)/8

y1 = (8x1 + 25)/6 = (9 + 12√3)/6
y2 = (8x2 + 25(/6 = (9 - 12√3)/6

as coordenadas do terceiro vértice são

C(x1,y1) e C(x2,y2)

confere o gráfico do triangulo [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

Att

Albert, bela resolução !