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Quadrilátero

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Quadrilátero

Mensagem  Ingrid fmp em Seg 17 Dez 2012, 10:59

Em um quadrilátero ABCD, os lados AB e BC medem 6 raiz de 3 cm e 4cm, respectivamente, e os ângulos internos nos vértices A e B medem 30° e 90°, respectivamente. Se as medidas de AD e BC são iguais, então a medida CD, em cm, é igual a:
RESPOSTA: 2 RAIZ DE 7
eu to encontrando 2 raiz de 3 :/
Alguém poderia me ajudar? Se postei o tópico no lugar errado, me desculpem. Entrei agora no fórum e ainda estou aprendendo a mexer aqui! rs
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Ingrid fmp

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RE: Quadrilatero

Mensagem  Albert Rieben em Qui 20 Dez 2012, 08:38


AD é hipotenusa de um triangulo de catetos 2 e 2√3

CD é hipotenusa de um triangulo de catetos 6√3 - 2√3 = 4√3 e 4 - 2 = 2

CD² = (4√3)² + 2²
CD² = 48 + 4 = 52

CD = 2√13


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Albert Rieben

Mensagem  Emtec em Ter 01 Jan 2013, 07:36

Albert, você poderia me explicar melhor seu raciocínio? Eu não consegui entender como que você conseguiu concluir que AD é hip. de um triangulo de catetos 2 e 2√3 , de onde você os tirou? Logo em seguida você falou que CD também é hip. de um triangulo de catetos 2 e 4√3. Não consegui entender! Resolvi o exercicio de um jeito completamente diferente kkkkkk.
Desde ja agradeço !
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Emtec

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RE: QUADRILATERO

Mensagem  Albert Rieben em Ter 01 Jan 2013, 08:43

ola

o quadrilátero pode ser dividido em

um retângulo BA'DC'
um triangulo retangular AA'D onde angulo A' = 90º , angulo A = 30º e o lado AD = BC = 4
um triangulo retangular DCC' onde angulo C' = 90º

vamos trabalhar o triangulo AA'D

pelo teorema de Pitagoras
AD² = A'D² + AA'²

pela trigonometria
tg(30º) = A'D/AA'

notação
a = AD
b = A'D
c = AA'

a² = b² + c²
tg(30º) = b/c
√3/3 = b/c
√3c = 3b
3c² = 9b²
c² = 3b²

a² = b² + 3b² = 4b²
16 = 4b²
b² = 4
b = 2
c² = 12
c = 2√3

agora
AA' = 2√3
BC' = 2

vamos trabalhar o triangulo DCC'

a = CD = ?
b = CC' = BC - BC' = 4 - 2 = 2
c = AB - AA' = 6√3 - 2√3 = 4√3

Pitagoras
a² = b² + c²
a² = 2² + (4√3)²
a² = 4 + 48 = 52
CD = a = 2√13


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Albert Rieben

Mensagem  Emtec em Ter 01 Jan 2013, 19:05

Muito Obrigado Albert Rieben !
Achei interessante o jeito que você fez, tendo a magnifica ideia de fazer um retangulo BA'DC' , simplesmente fantástico !
Vou deixar aqui o jeito q eu fiz :

- Prolonguei os lados BC e AD, até que esses se encontrassem e chamei o ponto do encontro de P.
Agora temos um triangulo (ABP) retângulo em B onde:
a hipotenusa = 4 + y ; um dos catetos vale 6√3 e o outro 4 + x
como  = 30º e temos um dos catetos podemos calcular o outro pela tangente: tag. 30º = (4 +x)/6√3 --> √3/3 = (4 + x)/6√3. X = 2
Com isso acabamos de calcular a distancia de C até P ( que equivale ao valor de X).
Voltando ao triangulo ABP podemos calcular agora sua hipotenusa. (4 +y)²= (6√3)² + 6² . Y = 8
Com isso calculamos a distancia de D até P ( que equivale ao valor de Y)
Agora vamos passar para o triangulo CDP . sabemos que o angulo P = 60º , já que este + 30º + 90º tinha que ser = 180º
Podemos aplicar a formula : a² = b² + c² - 2bc.cosa
DC² = 2² + 8² -2.2.8.1/2 --> DC² = 68 - 16 --> DC² = 52-->DC = 2√13

É simplesmente incrível como a matemática nos permite chegar no mesmo resultado de jeitos tao diferentes


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Emtec

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Re: Quadrilátero

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