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Quadrílatero convexo

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Quadrílatero convexo

Mensagem  FrancisNick em Sab 30 Mar 2013, 07:44

ABCD é um quadrílatero convexo, com ângulo internos A = 80º e B = 40º e com AD = BC. Sobre o lado BD, externamente ao quadrílatero, constrói-se o triângulo CPD equilátero. Calcule o perímetro do triângulo APB, sabendo que AB = 9 cm e CD = 4 cm

Não consegui realizar, pois não achei a base do triângulo interno ao triângulo CPD, e nem os lados BC e AD.

FrancisNick

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QUADRÍLATERO CONVEXO

Mensagem  Albert Rieben em Dom 31 Mar 2013, 09:44

Em um quadrilatero convexo, a soma dos angulos opostos sempre precisa dar 180º....
Por isso que C = 100º e D = 140º
( A + C = 180º e B + D = 180º )

Ele diz que AD = BC, por isso chamei ambos de x.

Pelo Teorema de Pitot, devemos ter:
AB + CD = AD + CB
9 + 4 = x + x
2x = 13
x = 13/2

Agora calcularemos o valor de AP fazendo Lei dos Cossenos no triangulo APD:
AP² = 4² + (13/2)² - 2.4.13/2.cos200º
AP² = 16 + 169/4 - 52.cos200º

O cosseno de 200º é igual ao cosseno de 160º que é o oposto do cosseno de 20º
AP² = 233/4 - 52.(-cos20º)
AP² = 233/4 + 52.cos20º
AP = √[ 233/4 + 52.cos20º ]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Agora calculando PB fazendo lei dos cossenos no triangulo CPB:
(lembra que o angulo PCB é 200º)
PB² = 4² + (13/2)² - 2.4.13/2.cos200º

E pode ver que é exatamente a mesma conta de AP.
Portanto:
PB = AP = √[ 233/4 + 52.cos20º ]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

O perímetro de APB será:
P = √[ 233/4 + 52.cos20º ] + √[ 233/4 + 52.cos20º ] + 9
P = 2√[ 233/4 + 52.cos20º ] + 9

Se vc quiser também podemos aproximar cos20º para achar o perímetro aproximado...
cos20º ≈ 0,94

E o perimetro aproximado vai ser:
P ≈ 29,7

att

Albert Rieben

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Re: Quadrílatero convexo

Mensagem  FrancisNick em Dom 31 Mar 2013, 14:31

Pois é, mas essa resolução você copiou do Yahoo. Gostaria de uma nova.

FrancisNick

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QUADRÍLATERO CONVEXO

Mensagem  Albert Rieben em Dom 31 Mar 2013, 14:45


boa tarde

A resolução é unica

Em um quadrilatero convexo, a soma dos angulos opostos sempre precisa dar 180º....
Por isso que C = 100º e D = 140º
( A + C = 180º e B + D = 180º )

Pelo Teorema de Pitot, devemos ter:
AB + CD = AD + CB
9 + 4 = x + x
2x = 13
x = 13/2

O resto é aplicação da lei dos cossenos para calcular os lado AP e BP

perímetro P = AP + BP + AB

o que você quer de mais ?


Att

Albert Rieben

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Re: Quadrílatero convexo

Mensagem  FrancisNick em Seg 01 Abr 2013, 06:49

Eu só queria saber se a resposta do 'carinha' do Yahoo estava correta. Já que você confirma...

Então, estou satisfeito. Obg por esse favor, já que eu ainda fui inconveniente rsrs'

FrancisNick

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Re: Quadrílatero convexo

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